1. Perché
Ho cominciato ad interessarmi all’andamento del COVID-19 dal 22 febbraio, se devo confessare la motivazione vera, si è trattato di una reazione di irritazione per i titoli e gli annunci che giornali e TV strombazzavano in quei primi giorni, talvolta anche citando autorevoli colleghi, sicuramente travisando il loro messaggio.
Ovunque si parlava di progressione esponenziale della diffusione del virus con toni da apocalissi prossima ventura. Mi occupo di stime di modelli statistici nella mia attività didattica e di ricerca da (ahimè) quasi 40 anni e quando sento parlare di modelli di crescita esponenziale mi viene l’orticaria.
Dal punto di vista scientifico, non credo che in natura esistano crescite esponenziali o, anche se esistessero, non ci sarebbero osservatori in grado di descriverle e analizzarle. Ma la seconda motivazione è ancora più soggettiva e per me più importante: da inguaribile illuminista, considero il panico e la paura irrazionale fattori controproducenti per il contenimento della epidemia e sono convinto che la razionalità debba essere il motore di un comportamento prudente e socialmente accettabile.
Infine, una motivazione pro domo mea: almeno nelle informazioni che ci danno i media, non trovo nessuna traccia del contributo che la Statistica potrebbe/dovrebbe dare in questa situazione. Non posso non sottolineare che, per quanto abbia cercato, nella task force della Protezione Civile non ho trovato nemmeno uno statistico.
2. Il modello
Alla luce di queste motivazioni, ho cominciato a studiare quale tipo di modello potesse essere, allo stesso tempo, sufficientemente efficace, ma anche facile da comunicare ai non specialisti, proprio per cercare di introdurre qualche elemento di razionalità nella difficile situazione che ci troviamo a vivere. Sono ben cosciente che un lavoro scientificamente ineccepibile dovrebbe sviluppare ben altre metodologie, ma come detto, non era questo l’obiettivo
Per questo ho scelto un modello logistico nella formulazione di Verhulst, relativamente semplice da spiegare e ben consolidato in letteratura, più volte utilizzato come “descrittore” di andamenti epidemiologici.
Si tratta di un modello nato in ambito demografico per descrivere la traiettoria di crescita di una popolazione. Anche il modello di Pierre François Verhulst nasce, curiosamente; come una reazione, sia pure garbata, all’ipotesi esponenziale avanzata da Malthus. La frase più famosa che viene attribuita a Verhulst è proprio “L’ipotesi della progressione geometrica regge solo in casi molto speciali”
L’idea che sta alla base del modello adottato è che il tasso di riproduzione è proporzionale alla popolazione esistente, ma che il tasso di riproduzione è proporzionale all’ammontare di risorse disponibili. Detto in altri termini, qualunque sistema che contiene una popolazione ha una “carrying capacity” che modella la competizione per le risorse disponibili e che tende limitare la crescita delle popolazioni.
Supponendo che il numero di individui di una popolazione sia una funzione continua del tempo, che ammette derivata continua, si ha che l’incremento della popolazione al variare del tempo può essere rappresentato dalla derivata che, in un modello elementare, si può supporre direttamente proporzionale al numero di individui della popolazione stessa.
Si ha pertanto la seguente equazione differenziale:
con r: parametro di crescita malthusiana
Pertanto se r è una costante la popolazione cresce in maniera esponenziale con pendenza dipendente da r.
Invece, in un ambiente la cui disponibilità di risorse è limitata, si può descrivere l’evoluzione della popolazione utilizzando un coefficiente r che decresce all’aumentare della popolazione: il modello più semplice è
con a e b costanti.
Sostituendo tale funzione nella precedente equazione differenziale si ottiene:
Naturalmente sono possibili formulazioni alternative del modello, ma quella presentata nella forma precedente è agevolmente stimabile dal punto di vista statistico e richiede unicamente la conoscenza dell’ammontare dei casi di contagio
La forma differenziale, inoltra, si presta meglio ad essere divulgata anche tra i non esperti perché la sua rappresentazione grafica mostra un “picco” laddove la soluzione integrata logistica presenta solo un flesso, difficilmente riconoscibile ad occhio e meno comprensibile.
In sostanza, essa si presenta come una sorta di curva a “campana” non sempre simmetrica, con una fase di crescita, seguita da un “plateau” e poi una discesa più o meno “ ripida. Una tale figura è probabilmente ciò che una persona qualsiasi coglie con maggiore immediatezza.
3. Cosa è successo
La pluridecennale frequentazione di stime e modelli mi ha subito restituito, a pelle, un buon feeling con le prime prove e le prime stime. MI sono convinto che il modello “teneva”.
Ma il punto più rilevante è che ho scelto i social network per comunicare quelle che ho chiamato le mie “cabale”. Io avevo sempre utilizzato Facebook e twitter o come fonte di dati per studiare il mood sociale o come mezzo per comunicare con gli amici più stretti o con i familiari.
La sorpresa, che non saprei definire se piacevole o no, è stata una risposta del tutto inaspettata in termini di interesse e di “sete di capire”. I miei tweet hanno avuto fino a 30.000 consultazioni e miei “amici” su Facebook sono passati da alcune decine ad oltre 500.
Dal punto di vista personale questo comporta un lavoro non banale, mi arrivano richieste di elaborazioni di ogni genere a anche qualche lamentela se per caso un giorno pubblico le mie previsioni con ritardo, ma considero questo sforzo come parte integrante del mio lavoro, che ha non come ultimo obiettivo la diffusione di un po’ di sensibilità statistico-quantitativa nel modo di pensare quotidiano. Credo che i colleghi delle varie discipline “scientifiche” (sciocca antinomia con “umanistiche” e/o “sociali) capiscano bene cosa intendo dire.
Chissà se fra i diversi cambiamenti che questa epidemia introdurrà nel nostro modo di vivere non si possa annoverare anche un piccolo miglioramento del rapporto tra scienza e società, soprattutto in Italia, convincendo noi ad essere migliori divulgatori di ciò che sappiamo e i nostri concittadini a non chiudere occhi e orecchie quando si presenta o si parla di numeri.
Se così fosse, sarei orgoglioso di aver portato la mia piccola pietruzza.
