Reazioni a catena: il COVID-19 e la Cinetica dei Reattori Nucleari per capire il tasso netto di riproduzione

Sebbene sembrino apparentemente distanti, le discipline della Fisica dei Reattori Nucleari e l’Epidemiologia hanno in realtà almeno una cosa che le accomuna: il concetto di reazione a catena.

È certamente vero che l’oggetto principale delle due discipline, il nocciolo di un reattore a fissione e una popolazione soggetta a contagio epidemico, sono due sistemi radicalmente differenti; eppure la loro fenomenologia è definita dal comportamento di due entità elementari, parte di quei sistemi, la cui scomparsa o moltiplicazione avviene a seconda della tipologia di interazione con l’ambiente circostante.

Queste due entità sono il neutrone e la persona contagiata da patologia trasmissibile, la cui numerosità è espressa rispettivamente da due grandezze fisiche: il flusso neutronico (cioè i neutroni che attraversano ogni secondo un particolare punto) e il numero di casi di persone contagiate. Il neutrone si moltiplica se riesce a indurre una fissione nucleare e scompare se viene assorbito da un nucleo non fissile. Similmente i contagiati si moltiplicano se riescono a venire in contatto con persone suscettibili di contagi, mentre si riducono se guariscono o vengono isolati. Appunto, reazioni a catena.

Questa analogia tra le discipline mi ha messo in una posizione privilegiata per comprendere il lavoro che i colleghi epidemiologi stanno facendo per monitorare e prevedere l’andamento dell’epidemia di COVID-19, essendo io un docente di fisica del reattore nucleare ed avendo familiarità con i sistemi moltiplicanti. Infatti, i modelli matematici usati in epidemiologia sono spesso sottocasi di modelli più complessi che si usano nella cinetica del reattore nucleare.

Infatti, lo scopo dello scienziato e in particolare del modellista è formalizzare matematicamente i meccanismi di interazione tra le entità e il resto del sistema, scrivendo equazioni che mettono in relazione le grandezze fisiche, così da poter fare previsioni sulla base delle condizioni iniziali e stimare alcune grandezze importanti che purtroppo sperimentalmente non si riescono a misurare.

Devo però ammettere che il nocciolo di un reattore nucleare è in un certo senso più semplice da modellare rispetto a una popolazione soggetta ad epidemia. Questo perché il nocciolo è progettato e costruito da noi, che ne conosciamo tutti i dettagli in termini di geometria e di materiali; ma soprattutto perché i neutroni (e i nuclei atomici) si comportano tutti allo stesso modo!

Inoltre, le misure sperimentali possono essere svolte in maniera molto accurata, dandoci conoscenza istantanea dello stato del sistema. Questa prevedibilità (che è anche dovuta al grande numero di entità neutroniche e atomiche per volume) ha permesso ai reattoristi di costruire modelli estremamente sofisticati e matematicamente molto complessi del comportamento di un reattore nucleare e della evoluzione della sua popolazione, sia in termini di neutroni che di nuclei, che va sotto il nome di Cinetica del Reattore Nucleare.

L’oggetto di indagine dell’epidemiologia è invece molto più sfuggente. I comportamenti dei singoli elementi sono infatti decisamente meno prevedibili di quelli di un neutrone e la loro numerosità è molto inferiore. Basti pensare che spesso è il comportamento di pochi singoli a inizio epidemia a definire il contenimento o meno su scala nazionale. Inoltre, effettuare misure per valutare l’effettivo stato di sviluppo del contagio è molto più complicato e i risultati molto meno affidabili. Basti pensare alle incertezze sui test con tamponi per la positività e alla valutazione delle cause dei decessi. Questo pone limiti alle capacità di utilizzare modelli epidemiologici in quanto i dati, sia per crearli che per validarli, sono più incerti.

La prima similitudine che ho visto tra i modelli per reattori nucleari e per l’epidemiologia è l’uso di un indicatore per definire se il sistema vede le sue entità elementari (neutroni o contagiati) aumentare infinitamente, diminuire fino a scomparire, oppure restare costanti in numerosità.

I primi usano il coefficiente di moltiplicazione k, definito come i neutroni che un singolo neutrone presente nel reattore può generare, mentre i secondi il tasso netto di riproduzione R₀, definito come il numero di casi che può generare una persona contagiata nella popolazione. Attenzione, perché questi due numeri non ci dicono quanti neutroni o casi di contagio sono presenti al momento, ma solo di quanto varieranno nel tempo. Per esempio, una popolazione che si lava spesso le mani avrà un R₀ minore di una popolazione che non se le lava, a prescindere che ci sia o meno una epidemia in atto.

Il criterio per discriminare tra un reattore che aumenta indefinitamente la sua potenza e uno che si spegne è quindi lo stesso che possiamo usare per discriminare se una epidemia si espanderà o scomparirà: k o R₀ maggiore o minore di 1. La stazionarietà la si ottiene solamente con k o R₀ uguali a 1, ovvero per ogni contagio abbiamo una guarigione.

Per esempio, un contagiato che entra in un paese che ha buone pratiche igieniche (R₀ ≤ 1) non darà inizio a nessuna epidemia (anche se in realtà R₀ dipende anche dalle caratteristiche di contagiosità del virus stesso e non solo dalle buone pratiche igieniche), così come un neutrone che entra in un sistema sottocritico (k ≤ 1) non darà inizio a nessuna reazione a catena di fissione. Il grafico 1 mostra chiaramente questi tre casi, e in più rende evidente l’andamento esponenziale della curva: in parole povere, ad ogni istante la curva cresce (o cala) un po’ di più rispetto all’istante precedente.

Tutti noi stiamo ora cercando di capire quando questa epidemia smetterà di crescere, cioè quando R₀ arriverà a 1. Ma come capirlo dai dati che possediamo? Possiamo disegnare la curva dei contagiati e cercare capire quando comincerà a curvare di meno verso l’alto. Ma valutare la curvatura di una curva non è molto semplice! Per questo si usano i grafici a scala logaritmica che trasformano le curve esponenziali con R₀ costante in rette. Il grafico 2 mostra le stesse curve del precedente in scala logaritmica, nelle quali le curve ora sono rette con diversa pendenza. Dall’inclinazione della retta possiamo stimare esattamente R₀: se punta in alto è maggiore di 1, se punta in basso è minore di 1 e se è orizzontale è uguale a 1. Stesso discorso per i reattori nucleari che vengono mantenuti a potenza costante con k = 1;

Dai dati possiamo anche valutare la nostra capacità di applicare le misure di contenimento emanate dal Governo. Prendiamo i grafici in scala logaritmica e valutiamone la pendenza di periodo in periodo: più la retta è orizzontale, più R₀ tende a 1. Come esempio, nel grafico 3 trovate la curva dei contagiati attuali per l’Emilia-Romagna che ha continuato ad inclinarsi sempre di più verso R₀ = 1 man mano che le misure sono state recepite. L’andamento è promettente, ma c’è bisogno di un ulteriore sforzo per aspettare che le misure prese due o tre settimane fa comincino a mostrare i loro effetti, a causa dei tempi di incubazione e di guarigione medi dei malati.

Ovviamente tutto questo non è scienza esatta, per i motivi sopra detti. Molto dipende da come la popolazione reagisce alle misure. In parole povere il valore di R₀ lo decidiamo noi: diversamente dai neutroni noi possediamo la libertà di azione… nel bene e nel male.

Detto con un ultimo grafico, siamo noi che dobbiamo disegnare la parte mancante dell’arcobaleno.