Contributo di Antonio Barletta e Beatrice Pulvirenti
Ogni volta che si cerca di modellare un fenomeno complesso, il rischio è quello di banalizzare. Tuttavia, in fisica e in ingegneria, un approccio basato su poche ipotesi, purché chiare, è spesso molto utile per cercare di catturare i tratti più importanti di un fenomeno.
Un semplice modello della crescita epidemica può essere formulato decidendo di controllare il numero N(t) di persone infette ad un certo tempo t. La popolazione, supponiamo, sia Nmax. La popolazione può riferirsi a una regione, a una nazione o all’intero pianeta.
Se facciamo l’ipotesi che, in un tempo Δt, la variazione ΔNdel numero di persone infette cresca in modo proporzionale al numero di persone infette, allora la crescita del numero N(t) sarà esponenziale. Questo regime di crescita è plausibile in uno scenario in cui ciascuna persona infetta è capace di infettare un numero di persone sane pari a aΔt, dove a è una costante che rappresenta il tasso di crescita esponenziale.
Tuttavia, quando il numero degli infetti N(t) diventa abbastanza grande allora la disponibilità di persone sane da infettare all’interno della popolazione tende a diminuire, cosicché l’evento per cui un infetto contagia una persona sana tende a diventare progressivamente più improbabile. Naturalmente, questa osservazione potrebbe dare luogo a diversi scenari nel caso in cui una persona infetta può guarire dall’infezione ed essere nuovamente infettata. Supponiamo che il tipo di infezione che studiamo non consenta una recidiva e andiamo avanti con il ragionamento. La diminuzione della probabilità di infezione di individui sani da parte di un singolo individuo infetto corrisponde ad avere un coefficiente a che diminuisce all’aumentare di N(t),
a = α – β N(t).
Questa diversa caratterizzazione del coefficiente a di fatto cambia la natura della crescita esponenziale in favore di una crescita logistica. La crescita logistica, su tempi lunghi, dà luogo ad una sorta di stato di equilibrio che, in termini strettamente matematici, è asintotico cioè ottenuto per un tempo t infinitamente grande. Lo stato di equilibrio corrisponde a una popolazione di individui infetti costante data dal rapporto α/β.
Pur nella semplicità, al limite della faciloneria, del modello logistico di evoluzione epidemica, è sorprendente come, con un’opportuna determinazione dei parametri α e β, si possa ottenere un buon accordo con i dati provenienti dalla Protezione Civile italiana. Dobbiamo precisare che i dati disponibili si riferiscono alle persone cui è stata diagnosticata l’infezione (i famosi tamponi) e non le persone infette. Assumere un trend logistico sulla prima tipologia di contagiati assumendo la validità di un modello ragionevole per la seconda tipologia è decisamente una forzatura. Tuttavia, possiamo sempre ipotizzare che esista un fattore moltiplicatore costante che leghi la prima tipologia di contagiati alla seconda. In altre parole, l’ipotesi è che il rapporto tra il numero di contagiati e il numero di contagiati diagnosticati sia una costante, in larga parte ignota, ma una costante.
Altro aspetto metodologico, non di poco conto, è legato alla mancanza di riferimenti alla situazione territoriale del caso italiano. Si controlla l’evoluzione di N(t) sapendo che quel numero si riferisce all’intera Italia, pur con una distribuzione fortemente non uniforme. Quindi, ogni predizione circa l’evoluzione di N(t) avrà necessariamente significati estremamente diversi da regione a regione e da città a città. È come dire che in alcune regioni se ne uscirà prima mentre in altre se ne uscirà dopo, ma puntiamo a capire quando i numeri saranno favorevoli su scala nazionale.
Un tema che
dovrà essere sviluppato nella modellistica dell’evoluzione epidemica è proprio
quello della diffusione territoriale e la sua variazione nel tempo. Occorre introdurre la variabile spazio
oltre alla variabile tempo. Occorre modellare realisticamente i flussi di
persone nel territorio sapendo che, inevitabilmente, le persone tendono a
spostarsi verso zone in cui il contagio è meno virulento. Accade come nel
modello della trasmissione del calore in un mezzo materiale: il calore fluisce
nella direzione in cui la temperatura ha valori più bassi. Analogamente,
durante un’epidemia, le persone tendono
a spostarsi nella direzione in cui il numero dei contagi è più basso.
Senza divagare troppo su ulteriori possibili sviluppi del modello matematico,
ritorniamo alla curva logistica che descrive l’evoluzione di N(t),
al caso italiano e ai dati della Protezione Civile.
I parametri che caratterizzano la curva logistica che caratterizza l’evoluzione epidemica in Italia sono:
α = 0.2066, β = 0.001695,
o meglio, questi sono i valori numerici da usare misurando il tempo in giorni. Con questa stima dei parametri del modello logistico il numero di individui infetti, N, raggiunti asintoticamente ovvero per tempi lunghi, α/β, sarebbe circa 122000. Ricordiamo che, basandoci sui dati della Protezione Civile, questo numero si riferisce ai contagiati diagnosticati e non al totale dei contagiati. Sempre secondo il modello logistico, non si dovrebbe superare questo numero. Quando l’evoluzione dell’epidemia approssimerà questi livelli, sarà plausibile aspettarsi un numero di nuovi contagi prossimo a zero. Se è vero che N = α/β è una condizione asintotica, cioè ottenuta in un tempo infinito, può avere senso chiedersi quando questa condizione di stasi dell’epidemia sarà raggiunta a meno del 5%. Se chiamiamo T il tempo richiesto per raggiungere lo stato di equilibrio entro un’approssimazione del 5%, si può stimare T sulla base dei valori di α e β. Il calcolo fornisce T = 40 giorni. Quindi possiamo concludere che dopo 40 giorni, a partire dal 27 febbraio, sarà tutto finito? Difficile dare una risposta. Il modello usato è semplice, addirittura semplicistico, però si basa su ipotesi che ad oggi potrebbero apparire anche realistiche. Occorre tenere in considerazione la grande disomogeneità dell’epidemia nel territorio nazionale con dinamiche locali anche fortemente differenti. Bisogna anche riconoscere che la stima dei parametri logistici è ancora affetta da un grande errore, perché l’evoluzione si discosta ancora troppo poco da un’esponenziale. Tuttavia, immaginiamo che le modalità del contagio, largamente dipendenti dalla natura dell’agente patogeno, non cambino nel tempo. Immaginiamo che non ci siano i cosiddetti casi di ritorno, ovvero recrudescenze dell’epidemia dovute all’ingresso di individui infetti provenienti da altri paesi. Insomma immaginiamo una sorta di best case scenario e, forse, con tanto ottimismo verso la metà di Aprile potremmo cominciare a vedere la luce in fondo al tunnel.
Consigli per letture sull’argomento:
Drazin, P.G. Nonlinear Systems. Cambridge University Press 1992.
Drudi, I. Previsioni, profezie e modelli ai tempi del Coronavirus, www.parliamoneora.it, 2020.
